Planificación de Ecuaciones Diferenciales (2021)

Ecuaciones diferenciales. Conceptos generales. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones especiales de primero y segundo orden. Ecuaciones lineales de primero, segundo orden y de orden superior. Problemas de aplicación. Sistemas de ecuaciones lineales. Aplicaciones

Que el alumno conozca y comprenda los conceptos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas de ecuaciones diferenciales, adquiera habilidad en los métodos de resolución y aplique sus conocimientos al estudio, modelado  y resolución de problemas  concretos relacionados con su carrera.

Para cursar Ecuaciones Diferenciales (ED) el alumno debe tener regularizada Cálculo II y aprobado el primer cuatrimestre.
Los conocimientos específicos previos que se requerirán para el cursado de ED son los contenidos de Matemática Básica, Algebra Lineal, Cálculo I y Cálculo II.

Ante la emergencia sanitaria en virtud de la pandemia por COVID 19,  el dictado de la asignatura en el cursado 2021 se mantiene como en el 2020 con modalidad virtual.

Semanalmente, en el aula de Ecuaciones Diferenciales de la plataforma e-fich, se dejará a disposición de los estudiantes, guias de estudio y videos asincrónicos para la teoría y la práctica. Por otro lado, las consultas de los temas dados serán semanales y de carácter sincrónico con los profesores, como también asincrónicas a través de los foros dentro del aula e-fich.

De la bibliografía básica se seleccionarán las actividades prácticas para ejercitar y verificar la comprensión de conceptos y teoremas, la destreza en los métodos de resolución y, la interpretación de modelados - construidos en términos de ecuaciones diferenciales-aplicados a diferentes fenómenos como físicos, sociales, biólogicos, junto con la resolución,  análisis y validación de las soluciones.

Se preveén instancias de trabajo individual con uso de softwares  específicos para la realización de actividades  - que indicará oportunamente la cátedra-,  que favorezcan la comprensión e integración de los conceptos aprendidos, a través de la visualización de soluciones y de simulaciones.

- Conceptos generales y terminología para las ecuaciones diferenciales.

-Problemas de valores iniciales de primer orden. Teorema de existencia y unicidad.

- Problema de valores de frontera. Ejemplos.

- Interpretación geométrica de una ED de primer orden. Campo de direcciones o pendientes.

- Ejemplos simples de ecuaciones diferenciales como modelo matemático aplicado a diversas áreas.

 Conceptos generales y terminología para las ecuaciones diferenciales.

-Problemas de valores iniciales de primer orden. Teorema de existencia y unicidad.

- Problema de valores de frontera. Ejemplos.

- Interpretación geométrica de una ED de primer orden. Campo de direcciones o pendientes.

- Ejemplos simples de ecuaciones diferenciales como modelo matemático aplicado a diversas áreas.

 -Ecuaciones Autónomas. Puntos críticos, retrato fase y clasificación de los puntos críticos..

- Estudio cualitativo de soluciones de una ED autónoma de primer orden a través de su retrato fase y el campo de pendientes.

Métodos de resolución para ED de primer orden:

- Variables separables. Descripción y ejemplos.

- ED lineales de 1er. orden. Deducción de su solución general y ejemplos.

-Modelado de ecuaciones diferenciales de 1er.orden, que pueden resolverse como lineales o con variables separables.

Determinación de puntos críticos en una ED autónoma. Construcción del retrato fase y estudio cualitativo de sus soluciones. 

Estudio cualitativo de soluciones de la ED dy/dx= f(x,y) con campos de pendientes. Uso de softwares.

Resolución de ecuaciones diferenciales por método de variables separables. Resolución de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas de 1er. orden y modelado de ecuaciones diferenciales de 1er.orden. 

ED exactas. Ejemplos. Demostración de la condición necesaria y suficiente de exactitud.

ED reducibles a exactas y Factor integrante.

Método de sustitución: Ecuaciones homogéneas, de Bernoulli y otras.

Ejemplos de modelado con ED que se resuelven con los métodos dados.

Trayectorias ortogonales.

Resolución de Ecuaciones exactas.

Búsqueda de factores integrantes en ecuaciones reducibles a exactas, cuando dependen de una sola variable independiente.  

Resolución de una ED por factor integrante.

Identificación y aplicación de sustituciones en ED de primer orden y posterior resolución en: ecuaciones  homogéneas, de Bernoulli y otras.

Modelado de ecuaciones diferenciales. 

ED de orden superior.

Teorema de existencia y unicidad de un PVI lineal de orden n. 

ED lineales homogéneas de n-ésimo orden.

El Principio de superposición para ecuaciones homogéneas.

Dependencia e independencia lineal de funciones (soluciones de una ED) . Wronskiano de n funciones. 

Condición necesaria y suficiente para que un conjunto de n soluciones de una ED lineal homogénea de orden n sea linealmente independiente en un intervalo I. 

Conjunto fundamental de soluciones de una ED lineal homogénea. Teorema sobre Solución general de una ED lineal homogénea de orden n. 

ED lineales no homogéneas y Solución general. Principio de superposición para ecuaciones no homogéneas.

Resolución de ejercicios y problemas basados en la teoría general de ecuaciones diferenciales lineales de orden n.

Método de Reducción de orden en una ED lineal homogénea de segundo orden usando una solución no nula conocida.

ED lineales homogéneas de orden n y de coeficientes constantes. La Ecuación caracteristica. Solución general según el tipo de raices de la ecuación característica.

Ecuación lineal de coeficientes variables especial:  Cauchy-Euler homogénea de orden n. Ecuación auxiliar de la ED homogénea. Formas de la solución general.

Uso del método de Reducción de orden para encontrar una segunda solución en una ecuación lineal de segundo orden homogénea. 

Resolución de ecuaciones no lineales donde falta la variable dependiente o falta la variable independiente.

En esta semana se toma el Cuestionario en la plataforma Moodle el día 14 de Setiembre, en horario a publicar oportunamente, por plataforma. Abarca idénticos contenidos al parcial 1 haciendo incapié en actividades experimentales con software. Es de tipo Múltiple Choise. 

Métodos de Coeficientes indeterminados y Método de Variación de parámetros para encontrar soluciones particulares en una ED lineal no homogéna.

Resolución de ED de Cauchy-Euler no homogénea.

Ecuaciones diferenciales de segundo orden no lineales.

Primer Parcial:  es teórico-práctico, escrito, individual y abarca los contenidos dados desde la semana 1 hasta la semana 5 inclusive.

Resolución de ecuaciones de Cauchy-Euler de orden n no homogéneas. Problemas.

Modelado y resolución de problemas asociados a sistemas masa-resorte y circuitos eléctricos.

Modelado de ED lineales de orden superior:

Problemas de valores iniciales aplicados a los sistemas masa-resorte: Análisis y modelado de las ecuaciones diferenciales asociadas a movimiento libre no amortiguado, libre amortiguado y forzado.

Problemas de valores iniciales aplicados a Circuitos en serie.

Evaluación teórica-práctica escrita, individual recuperatoria de los temas del primer parcial tanto para quienes aspiren a regularizar o para promocionar.

Puntos ordinarios y puntos singulares en una ecuación diferencial lineal homogénea de orden dos.

Teorema de existencia de soluciones en series de potencias alrededor de puntos ordinarios. Método de resolución de EDL de segundo orden para obtener soluciones LI en series de potencias aredededor de puntos ordinarios.

Identificación de puntos singulares regulares e irregulares en una EDL.

El Teorema de Frobenius. Obtención de la Ecuación indicial y las raices indiciales.

Soluciones en serie de una ecuación lineal homogénea de orden dos cerca de puntos singulares: aplicación del Método de Frobenius. 

Introducción a la Transformada de Laplace: definición, ejemplos y condiciones suficientes para su existencia.

Resolución de ecuaciones lineales homogéneas de orden dos cerca de puntos singulares: aplicación del Método de Frobenius para los distintos casos de raices indiciales.

Cálculo de la Transformada de Laplace usando su definición y por aplicación de tabla, para distintas funciones .

Análisis de las condiciones suficientes de existencia y no necesarias de la Transformada en diferentes ejemplos.

La Transformada inversa de Laplace. Ejemplos.

Linealidad. Uso de la descomposición en fracciones parciales para el cálculo de T inversa.

Demostración de algunas Transformadas de las derivadas de una función. Aplicación del Método de Transformada para resolver  problemas de valores inciales.

Función escalón unitario.

Teoremas de traslación en el eje s y eje t. 

Resolución de ejercicios y problemas del tema.

Determinación de Transformada y Transformada inversa de Laplace usando linealidad,  fracciones parciales y teoremas de traslación.

Resolución de problemas de valores inciales aplicando Transformada de Laplace.

Introducción a los Sistemas de ecuaciones diferenciales. Relación entre ecuaciones diferenciales lineales de orden n con sistemas de EDL de primer orden.

Teoria preliminar de los Sistemas de ED lineales de 1er. Orden. Forma Matricial.

Método de Transformada de Laplace para resolver sistemas lineales con coeficientes constantes.

Algunos ejemplos de modelado de SED.

Método de Transformada de Laplace para resolver sistemas lineales con coeficientes constantes. 

Método de eliminación por operadores.

Sistemas de ecuaciones lineales de 1er. orden no homogéneos y conceptos generales: forma matricial, vector solución, SH asociado, independencia lineal, wronskiano, solución general de X'=AX+B.

Problemas con modelado de sistemas lineales asociado a distintas áreas.

Sistemas de EDL homogéneos orden 1: X'=AX.

Ecuación característica de la matriz A del sistema. Valores y vectores propios de la matriz. Solución general de los sistemas homogéneos: análisis de los distintos tipos.

Resolución de sistemas de ED primer orden homogéneos con coeficientes constantes y de PVI, por el método de valores y vectores propios.

Segundo Cuestionario on line: abarca los contenidos dados desde la sección 4.3 del libro (desde ED lineales homogéneas y de coeficientes constantes hasta el final de los temas dados en esta semana).

Dado que se estima el parcial 2 para el jueves 14/11, los dias restantes de la semana correspondientes a clases de teoría o práctica, serán destinados para repaso y consultas.

Segundo Cuestionario on line recuperatorio de los contenidos del segundo parcial tanto para quienes aspiren a regularizar o promocionar.

Para mayor detalle sobre las condiciones para regularidar o promocionar, ver en "Requerimiento para la regularidad y promoción".

Método de coeficientes indeterminados y Variación de parámetros.

 Condiciones para regularizar

a) Realizar 2 (dos) evaluaciones parciales teórico-prácticas desde la plataforma Moodle de tipo Cuestionario, debiendo alcanzar un mínimo de 40 puntos en cada uno de ellos y un promedio de 55. 

b) En caso de no obtener el puntaje mínimo de aprobación en cualquiera de las evaluaciones, el alumno tendrá la posibilidad de  recuperar el parcial (on line) que corresponda, para alcanzar el mínimo requerido. 

c) El Parcial Recuperatorio constará de los contenidos que forman parte de la instancia que corresponda recuperar. Se considerará como definitiva, a la nota mayor obtenida entre el parcial y el recuperatorio.

d) Si las condiciones anteriores no se cumplen, el alumno quedará en condición de Libre.

Condiciones para promocionar:

a) Realizar 2 (dos) evaluaciones parciales teórico-prácticas desde la plataforma Moodle de tipo Cuestionario, debiendo alcanzar un mínimo de 60 puntos en cada uno de ellos y un promedio de 75. 

b) En caso de no obtener el puntaje mínimo de aprobación en cualquiera de las evaluaciones, el alumno tendrá la posibilidad de  recuperar el parcial (on line) que corresponda, para alcanzar el mínimo requerido. 

c) El parcial recuperatorio constará de los contenidos que forman parte de la instancia que corresponda recuperar. Se considerará como definitiva, a la nota mayor obtenida entre el parcial y el recuperatorio.

d) El alumno que promociona, alcanza la condición Coloquio Pendiente (CP), debiendo rendir un coloquio oral sincrónico individual luego de concluido el cursado.

e) Si un alumno no alcanza el mínimo de 60 puntos en alguna de las evaluaciones pero obtubo más de 40 en ambas,  quedará en condición de Regular.

El Primer Parcial abarca los temas del cronograma dados desde la semana 1 hasta inclusive "Reducción de orden".

Abarca todos los temas del Parcial 1.

El segundo parcial abarca todos los temas del cronograma desde "Ecuaciones dif. lineales de orden n con coeficientes constantes" hasta el final. No abarca "Variación de Parámetros".

Abarca todos los temas del Parcial 2.

En la virtualidad dispuesta para el año 2021, todo el material didáctico inherente a la asignatura, se encuentra en el aula virtual en plataforma Moodle.